Найти интегралы от дробно рациональных функций. Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов

Рациональная функция - это дробь вида , числитель и знаменатель которой - многочлены или произведения многочленов.

Пример 1. Шаг 2.

.

Умножаем неопределённые коэффициенты на многочлены, которых нет в данной отдельной дроби, но которые есть в других полученных дробях:

Раскрываем скобки и приравниваем полученое к полученному выражению числитель исходной подынтегральной дроби:

В обеих частях равенства отыскиваем слагаемые с одинаковыми степенями икса и составляем из них систему уравнений:

.

Сокращаем все иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:

.

Таким образом, окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 2. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Теперь начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:

Теперь требуется составить и решить систему уравнений. Для этого приравниваем коэффициенты при переменной в соответствующей степени в числителе исходного выражения функции и аналогичные коэффициенты в полученном на предыдущем шаге выражения:

Решаем полученную систему:

Итак, , отсюда

.

Пример 3. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Начинаем искать неопределённые коэффициенты. Для этого числитель исходной дроби в выражении функции приравниваем к числителю выражения, полученного после приведения суммы дробей к общему знаменателю:

Как и в предыдущих примерах составляем систему уравнений:

Сокращаем иксы и получаем эквивалентную систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 4. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Как приравнивать числитель исходной дроби к выражению в числителе, полученному после разложения дроби на сумму простых дробей и приведения этой суммы к общему знаменателю, мы уже знаем из предыдуших примеров. Поэтому лишь для контроля приведём получившуюся систему уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

Пример 5. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Самостоятельно приводим к общему знаменателю эту сумму, приравнивать числитель этого выражения к числителю исходной дроби. В результате должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

.

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 6. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

Производим с этой суммой те же действия, что и в предыдущих примерах. В результате должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

.

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 7. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

После известных действий с полученной суммой должна получиться следующая система уравнений:

Решая систему, получаем следующие значения неопределённых коэффициентов:

Получаем окончательное разложение подынтегральной дроби на сумму простых дробей:

.

Пример 8. Шаг 2. На шаге 1 получили следующее разложение исходной дроби на сумму простых дробей с неопределёнными коэффициентами в числителях:

.

Внесём некоторые изменения в уже доведённые до автоматизма действия для получения системы уравнений. Есть искусственный приём, который в некоторых случаях помогает избежать лишних вычислений. Приводя сумму дробей к общему знаменателю получаем и приравнивая числитель этого выражения к числителю исходной дроби, получаем.

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

Методические указания

по изучению темы «Интегрирование некоторых функций» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Интегрирование некоторых функций

Интегрирование рациональных функций

Функция вида
называется рациональной дробью , если её числитель и знаменатель являются многочленами. Рациональная дробь называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя. Если же степень числителя больше либо равна степени знаменателя, то рациональная дробь называется неправильной .

Так как всякая неправильная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби, то интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби .

Многочлены интегрируются просто. Рассмотрим интегрирование дробей вида
,
, которые называютсяпростейшими рациональными дробями .

.

.

Пусть знаменатель
дробиимеет действительные корни и может быть представлен произведением множителей вида
. Тогда для каждого такого множителя имеет место разложение вида
. Таким образом, всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших дробей. Выполняется это с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример 1 . Проинтегрировать дробь
.

Решение .
Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Приравняем коэффициенты при и свободные члены:
Решим эту систему уравнений и получим,
. Тогда

.

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Если подынтегральная функция иррациональна, то с помощью замены переменной во многих случаях можно привести её к рациональному виду или к такой функции, интеграл от которой является табличным. Интегрирование при помощи замены переменной, которая приводит подынтегральное выражение к рациональному виду, называется интегрированием посредством рационализации подынтегрального выражения .

Интегралы вида
приводятся к интегралам от рациональных функций аргумента t с помощью подстановки
, гдеk – наименьшее общее кратное чисел
.

Пример 2 . Найти интеграл
.

Решение . Наименьшее общее кратное чисел
и
равно 6. Поэтому нужно применить подстановку
. Тогда

. Подынтегральную функцию разложим на простейшие: . Приравняем коэффициенты прии свободные члены:
Отсюда найдём
Тогда
. Таким образом,=
. Так как
, то
. Подставим в полученное выражение:

.

Интегралы вида
приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
.

Пример 3 . Найти интеграл
.

Решение . Выполним подстановку
:

.

Интегрирование выражений, содержащих

тригонометрические функции

Рассмотрим основные случаи интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции.

При нахождении интегралов вида
,

,
подынтегральные функции из произ-

ведений преобразовываются в суммы с помощью формул:

В результате полученные интегралы находятся с использованием методов интегрирования и таблицы интегралов. При этом можно использовать формулы
и
.

Пример 4 . Найти интеграл
.

Решение . Воспользуемся первой из вышеприведённых формул:

Интегралы вида
можно находить довольно просто в следующих случаях.

Если m – положительное нечётное число, то можно отделить первую степень синуса и применить подстановку
. Тогда
и подынтегральное выражение с помощью тригонометрических формул сведётся к степенным функциям. Еслиn - положительное нечётное число, то можно отделить первую степень косинуса и выполнить замену
. Тогда
и подынтегральное выражение с помощью тригонометрических функций тоже сведётся к степенным функциям.

Пример 5 . Найти интеграл
.

Решение .

.

Пример 6 . Найти интеграл
.

Решение .

Если m и n – неотрицательные чётные числа, то преобразование подынтегральных выражений можно выполнять с помощью формул понижения степени
и
.

Пример 7 . Найти интеграл
.

Решение .

.

Подынтегральная функция представляет собой дробь, в числителе которой находится степень синуса, а в знаменателе – степень косинуса, или наоборот. При этом показатели степени или оба чётные, или оба нечётные, т.е. одинаковой чётности.

В этом случае, если в числителе синус, то наиболее подходящей является подстановка
. Отсюда
,
,
,
.

Если же в числителе косинус, то удобно использовать подстановку
. Тогда
,
,
,
.

Пример 8 . Найти интеграл
.

Решение .

.

Нахождение интегралов вида
сводится с помощью подстановки
к нахождению интегралов от рациональных функций. Подстановка
называетсяуниверсальной тригонометрической подстановкой , которая всегда приводит к результату. В этом случае
,
,
,
,
.

Пример 9 . Найти интеграл
.

Решение .
.

Вопросы для самоконтроля знаний

приводятся к интегралам от рациональных функций?

,

Что называется универсальной тригонометрической подстановкой и когда она используется?

Задания для самостоятельной работы

Найти интегралы от рациональных функций:

а)
; б)
; в)
.

2) Проинтегрировать выражения, содержащие тригонометрические функции:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
.

2., 5.
,

3.
, 6.
.

В интегралах 1-3 качествеu принимают. Тогда, послеn -кратного применения формулы (19) придем к одному из табличных интегралов

,
,
.

В интегралах 4-6 при дифференцировании упроститься трансцендентный множитель
,
или
, который следует принять заu .

Вычислить следующие интегралы.

Пример 7.

Пример 8.

Приведение интегралов к самому себе

Если подынтегральная функция
имеет вид:

,
,
и так далее,

то после двукратного интегрирования по частям получим выражение, содержащее исходный интеграл :

,

где
- некоторая постоянная.

Разрешая полученное уравнение относительно , получим формулу для вычисления исходного интеграла:

.

Этот случай применения метода интегрирования по частям называется «приведение интеграла к самому себе ».

Пример 9. Вычислить интеграл
.

В правой части стоит исходный интеграл . Перенеся его в левую часть, получим:

.

Пример 10. Вычислить интеграл
.

4.5. Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

Определение. Простейшими правильными дробями I , II и III типов называются следующие дроби:

I . ;

II .
; (
- целое положительное число);

III .
; (корни знаменателя комплексные, то есть:
.

Рассмотрим интегралы от простейших дробей.

I .
; (20)

II . ; (21)

III .
;

Преобразуем числитель дроби таким образом, чтобы выделить в числителе слагаемое
, равное производной знаменателя.

Рассмотрим первый из двух полученных интегралов и сделаем в нем замену:

Во втором интеграле дополним знаменатель до полного квадрата:

Окончательно, интеграл от дроби третьего типа равен:

=
+
. (22)

Таким образом, интеграл от простейших дробей I-го типа выражается через логарифмы,II–го типа – через рациональные функции,III-го типа – через логарифмы и арктангенсы.

4.6.Интегрирование дробно-рациональных функций

Одним из классов функций, которые имеют интеграл, выраженный через элементарные функции, является класс алгебраических рациональных функций, то есть функций, получающихся в результате конечного числа алгебраических операций над аргументом.

Всякая рациональная функция
может быть представлена в виде отношения двух многочленов
и
:

. (23)

Будем предполагать, что многочлены не имеют общих корней.

Дробь вида (23) называется правильной , если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть,m < n . В противном случае –неправильной .

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), представим дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби:

, (24)

где
- многочлен,- правильная дробь, причем степень многочлена
- не выше степени (n -1).

Пример.

Так как интегрирование многочлена сводится к сумме табличных интегралов от степенной функции, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

В алгебре доказано, что всякая правильная дробь разлагается на сумму рассмотренных вышепростейших дробей, вид которых определяется корнями знаменателя
.

Рассмотрим три частных случая. Здесь и далее будем считать, что коэффициент при старшей степени знаменателя
равен единице=1, то есть многочлен приведенный .

Случай 1. Корни знаменателя, то есть, корни
уравнения
=0, действительны и различны. Тогда знаменатель представим в виде произведения линейных множителей:

а правильная дробь разлагается на простейшие дроби I-готипа:

, (26)

где
– некоторые постоянные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов.

Для этого необходимо:

1. Привести правую часть разложения (26) к общему знаменателю.

2. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях тождественных многочленов, стоящих в числителе левой и правой частей. Получим систему линейных уравнений для определения
.

3. Решить полученную систему и найти неопределенные коэффициенты
.

Тогда интеграл дробно-рациональной функции (26) будет равен сумме интегралов от простейших дробей I-готипа, вычисляемых по формуле (20).

Пример. Вычислить интеграл
.

Решение. Разложим знаменатель на множители, используя теорему Виета:

Тогда, подынтегральная функция разлагается на сумму простейших дробей:

.

х :

Запишем систему трех уравнений для нахождения
х в левой и правой частях:

.

Укажем более простой способ нахождения неопределенных коэффициентов, называемый методом частных значений .

Полагая в равенстве (27)
получим
, откуда
. Полагая
получим
. Наконец, полагая
получим
.

.

Случай 2. Корня знаменателя
действительны,но среди них есть кратные (равные) корни. Тогда знаменатель представим в виде произведения линейных множителей, входящих в произведение в той степени, какова кратность соответствующего корня:

где
.

Правильная дробь будет разлагаться сумму дробейI–го иII-го типов. Пусть, например,- корень знаменателя кратностиk , а все остальные (n - k ) корней различны.

Тогда разложение будет иметь вид:

Аналогично, если существуют другие кратные корни. Для некратных корней в разложение (28) входят простейшие дроби первого типа.

Пример. Вычислить интеграл
.

Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей первого и второго рода с неопределенными коэффициентами:

.

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем многочлены, стоящие в числителях левой и правой части:

В правой части приведем подобные при одинаковых степенях х :

Запишем систему четырех уравнений для нахождения
и. Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых степеняхх в левой и правой части

.

Случай 3. Среди корней знаменателя
есть комплексные однократные корни. То есть, в разложение знаменателя входят множители второй степени
, не разложимые на действительные линейные множители, причем они не повторяются.

Тогда в разложении дроби каждому такому множителю будет соответствовать простейшая дробь IIIтипа. Линейным множителям соответствуют простейшие дробиI–го иII-го типов.

Пример. Вычислить интеграл
.

Решение.
.

.

.

ТЕМА: Интегрирование рациональных дробей.

Внимание! При изучении одного из основных приемов интегрирования: интегрирования рациональных дробей – требуется для проведения строгих доказательств рассматривать многочлены в комплексной области. Поэтому необходимо изучить предварительно некоторые свойства комплексных чисел и операций над ними.

Интегрирование простейших рациональных дробей.

Если P (z ) и Q (z ) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной , если степень P (z ) меньше степени Q (z ) , и неправильной , если степень Р не меньше степени Q .

Любую неправильную дробь можно представить в виде: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R (z ) – многочлен, степень которого меньше степени Q (z ).

Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.

Определение 5. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:

1) , 2) , 3) , 4) .

Выясним, каким образом они интегрируются.

3) (изучен ранее).

Теорема 5. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (без доказательства).

Следствие 1. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:

Пример 1.

Следствие 2. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го и 2-го типов:

Пример 2.

Следствие 3. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го типа:

Пример 3.

Следствие 4. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го и 4-го типов:

Для определения неизвестных коэффициентов в приведенных разложениях поступают следующим образом. Левую и правую часть разложения , содержащего неизвестные коэффициенты, умножают на Получается равенство двух многочленов. Из него получают уравнения на искомые коэффициенты, используя, что:

1. равенство справедливо при любых значениях Х (метод частных значений). В этом случае получается сколько угодно уравнений, любые m из которых позволяют найти неизвестные коэффициенты.

2. совпадают коэффициенты при одинаковых степенях Х (метод неопределенных коэффициентов). В этом случае получается система m – уравнений с m – неизвестными, из которых находят неизвестные коэффициенты.

3. комбинированный метод.

Пример 5. Разложить дробь на простейшие.

Решение:

Найдем коэффициенты А и В.

1 способ - метод частных значений:

2 способ – метод неопределенных коэффициентов:

Ответ:

Интегрирование рациональных дробей.

Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Доказательство.

Представим рациональную дробь в виде: . При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 5 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S (x ) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.

Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.

Пример 1. Найти интеграл