Статистическое оценивание. Вероятность и статистика – основные факты Смотреть что такое "Состоятельная оценка" в других словарях

К оцениваемому параметру.

Определения

• Пусть $X\_1,\backslash ldots,\; X\_n,\backslash ldots$ - выборка для распределения , зависящего от параметра $\backslash theta\; \backslash in\; \backslash Theta$. Тогда оценка $\backslash hat\{\backslash theta\}\; \backslash equiv\; \backslash hat\{\backslash theta\}(X\_1,\backslash ldots,X\_n)$ называется состоятельной, если

$$ по вероятности при $n\; \backslash to\; \backslash infty$.

В противном случае оценка называется несостоятельной.

• Оценка $\backslash hat\{\backslash theta\}$ называется си́льно состоя́тельной , если

$\backslash hat\{\backslash theta\}\; \backslash to\; \backslash theta,\backslash quad\; \backslash forall\; \backslash theta\backslash in\; \backslash Theta$ почти наверное при $n\; \backslash to\; \backslash infty$.

На практике «увидеть» сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поскольку выборки конечны. Таким образом, для прикладной статистики достаточно требовать состоятельности оценки. Более того, оценки, которые были бы состоятельными, но не сильно состоятельными, «в жизни» встречаются очень редко. Закон больших чисел для одинаково распределённых и независимых величин с конечным первым моментом выполнен и в усиленном варианте, всякие крайние порядковые статистики тоже сходятся в силу монотонности не только по вероятности, но и почти наверное.

Признак

• Если оценка сходится к истинному значению параметра "в среднем квадратичном" или если оценка асимптотически несмещенная и её дисперсия стремится к нулю, то такая оценка будет состоятельной.

Свойства

• Из свойств сходимостей случайных величин имеем, что сильно состоятельная оценка всегда состоятельна. Обратное, вообще говоря, неверно.
• Поскольку дисперсия состоятельных оценок стремится к нулю, часто со скоростью порядка 1/n, то состоятельные оценки сравниваются между собой асимптотической дисперсией случайной величины $\backslash sqrt\; \{n\}\; (\backslash hat\{\backslash theta\}-\backslash theta)$ (асимптотическое математическое ожидание этой величины равно нулю).

Связанные понятия

• Оценка называется суперсостоятельной , если дисперсия случайной величины $n\; (\backslash hat\{\backslash theta\}-\backslash theta)$ стремится к конечной величине. То есть скорость сходимости оценки к истинному значению существенно выше чем у состоятельной оценки. Суперсостоятельными, например, оказываются оценки параметров регрессии коинтегрированных временных рядов.

Примеры

• Выборочное среднее $\backslash bar\{X\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; X\_i$ является сильно состоятельной оценкой математического ожидания $X\_i$.
• Периодограмма является несмещённой , но несостоятельной оценкой спектральной плотности .

См. также

Напишите отзыв о статье "Состоятельная оценка"

Отрывок, характеризующий Состоятельная оценка

– О, господи помилуй, – прибавил опять дьякон.
– Вы пройдите вот туда то, они там. Она и есть. Все убивалась, плакала, – сказала опять баба. – Она и есть. Вот сюда то.
Но Пьер не слушал бабу. Он уже несколько секунд, не спуская глаз, смотрел на то, что делалось в нескольких шагах от него. Он смотрел на армянское семейство и двух французских солдат, подошедших к армянам. Один из этих солдат, маленький вертлявый человечек, был одет в синюю шинель, подпоясанную веревкой. На голове его был колпак, и ноги были босые. Другой, который особенно поразил Пьера, был длинный, сутуловатый, белокурый, худой человек с медлительными движениями и идиотическим выражением лица. Этот был одет в фризовый капот, в синие штаны и большие рваные ботфорты. Маленький француз, без сапог, в синей шипели, подойдя к армянам, тотчас же, сказав что то, взялся за ноги старика, и старик тотчас же поспешно стал снимать сапоги. Другой, в капоте, остановился против красавицы армянки и молча, неподвижно, держа руки в карманах, смотрел на нее.
– Возьми, возьми ребенка, – проговорил Пьер, подавая девочку и повелительно и поспешно обращаясь к бабе. – Ты отдай им, отдай! – закричал он почти на бабу, сажая закричавшую девочку на землю, и опять оглянулся на французов и на армянское семейство. Старик уже сидел босой. Маленький француз снял с него последний сапог и похлопывал сапогами один о другой. Старик, всхлипывая, говорил что то, но Пьер только мельком видел это; все внимание его было обращено на француза в капоте, который в это время, медлительно раскачиваясь, подвинулся к молодой женщине и, вынув руки из карманов, взялся за ее шею.
Красавица армянка продолжала сидеть в том же неподвижном положении, с опущенными длинными ресницами, и как будто не видала и не чувствовала того, что делал с нею солдат.
Пока Пьер пробежал те несколько шагов, которые отделяли его от французов, длинный мародер в капоте уж рвал с шеи армянки ожерелье, которое было на ней, и молодая женщина, хватаясь руками за шею, кричала пронзительным голосом.
– Laissez cette femme! [Оставьте эту женщину!] – бешеным голосом прохрипел Пьер, схватывая длинного, сутоловатого солдата за плечи и отбрасывая его. Солдат упал, приподнялся и побежал прочь. Но товарищ его, бросив сапоги, вынул тесак и грозно надвинулся на Пьера.
– Voyons, pas de betises! [Ну, ну! Не дури!] – крикнул он.
Пьер был в том восторге бешенства, в котором он ничего не помнил и в котором силы его удесятерялись. Он бросился на босого француза и, прежде чем тот успел вынуть свой тесак, уже сбил его с ног и молотил по нем кулаками. Послышался одобрительный крик окружавшей толпы, в то же время из за угла показался конный разъезд французских уланов. Уланы рысью подъехали к Пьеру и французу и окружили их. Пьер ничего не помнил из того, что было дальше. Он помнил, что он бил кого то, его били и что под конец он почувствовал, что руки его связаны, что толпа французских солдат стоит вокруг него и обыскивает его платье.

• Пусть texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X_1,\ldots, X_n,\ldots - выборка для распределения , зависящего от параметра Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \theta \in \Theta . Тогда оценка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \hat{\theta} \equiv \hat{\theta}(X_1,\ldots,X_n) называется состоятельной, если

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc по вероятности при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc .

В противном случае оценка называется несостоятельной.

• Оценка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \hat{\theta} называется си́льно состоя́тельной , если

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \hat{\theta} \to \theta,\quad \forall \theta\in \Theta почти наверное при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n \to \infty .

На практике «увидеть» сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поскольку выборки конечны. Таким образом, для прикладной статистики достаточно требовать состоятельности оценки. Более того, оценки, которые были бы состоятельными, но не сильно состоятельными, «в жизни» встречаются очень редко. Закон больших чисел для одинаково распределённых и независимых величин с конечным первым моментом выполнен и в усиленном варианте, всякие крайние порядковые статистики тоже сходятся в силу монотонности не только по вероятности, но и почти наверное.

Признак

• Если оценка сходится к истинному значению параметра "в среднем квадратичном" или если оценка асимптотически несмещенная и её дисперсия стремится к нулю, то такая оценка будет состоятельной.

Свойства

• Из свойств сходимостей случайных величин имеем, что сильно состоятельная оценка всегда состоятельна. Обратное, вообще говоря, неверно.
• Поскольку дисперсия состоятельных оценок стремится к нулю, часто со скоростью порядка 1/n, то состоятельные оценки сравниваются между собой асимптотической дисперсией случайной величины Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sqrt {n} (\hat{\theta}-\theta) (асимптотическое математическое ожидание этой величины равно нулю).

Связанные понятия

• Оценка называется суперсостоятельной , если дисперсия случайной величины Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n (\hat{\theta}-\theta) стремится к конечной величине. То есть скорость сходимости оценки к истинному значению существенно выше чем у состоятельной оценки. Суперсостоятельными, например, оказываются оценки параметров регрессии коинтегрированных временных рядов.

Примеры

• Выборочное среднее Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i является сильно состоятельной оценкой математического ожидания Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X_i .
• Периодограмма является несмещённой , но несостоятельной оценкой спектральной плотности .

См. также

Напишите отзыв о статье "Состоятельная оценка"

Отрывок, характеризующий Состоятельная оценка

Искренний, глубоко-печальный рассказ Изидоры омертвил болью наши детские сердца, даже не давая время очнуться... Казалось, не было предела бесчеловечным мукам, причиняемым чёрствыми душами уродливых палачей этой удивительной и мужественной женщине!.. Мне было искренне боязно и тревожно, только лишь думая о том, что же ждало нас по окончании её потрясающего рассказа!..
Я посмотрела на Стеллу – моя воинственная подружка испуганно жалась к Анне, не сводя с Изидоры потрясённо- округлившихся глаз... Видимо, даже её – такую храбрую и не сдающуюся – ошеломила людская жестокость.
Да, наверняка, мы со Стеллой видели больше, чем другие дети в свои 5-10 лет. Мы уже знали, что такое потеря, знали, что означает боль... Но нам ещё предстояло очень многое пережить, чтобы понять хоть малую часть того, что чувствовала сейчас Изидора!.. И я лишь надеялась, что мне никогда не придётся такого на себе по-настоящему испытать...
Я зачарованно смотрела на эту прекрасную, смелую, удивительно одарённую женщину, не в силах скрыть навернувшихся на глаза горестных слёз... Как же «люди» смели зваться ЛЮДЬМИ, творя с ней такое?!. Как Земля вообще терпела такую преступную мерзость, разрешая топтать себя, не разверзнув при этом своих глубин?!.
Изидора всё ещё находилась от нас далеко, в своих глубоко-ранящих воспоминаниях, и мне честно совсем не хотелось, чтобы она продолжала рассказывать дальше... Её история терзала мою детскую душу, заставляя сто раз умирать от возмущения и боли. Я не была к этому готова. Не знала, как защититься от такого зверства... И казалось, если сейчас же не прекратится вся эта раздирающая сердце повесть – я просто умру, не дождавшись её конца. Это было слишком жестоко и не поддавалось моему нормальному детскому пониманию...
Но Изидора, как ни в чём не бывало, продолжала рассказывать дальше, и нам ничего не оставалось, как только окунутся с ней снова в её исковерканную, но такую высокую и чистую, не дожитую земную ЖИЗНЬ...
Проснулась я на следующее утро очень поздно. Видимо тот покой, что подарил мне своим прикосновением Север, согрел моё истерзанное сердце, позволяя чуточку расслабиться, чтобы новый день я могла встретить с гордо поднятой головой, что бы этот день мне ни принёс... Анна всё ещё не отвечала – видимо Караффа твёрдо решил не позволять нам общаться, пока я не сломаюсь, или пока у него не появится в этом какая-то большая нужда.
Изолированная от моей милой девочки, но, зная, что она находится рядом, я пыталась придумать разные-преразные способы общения с ней, хотя в душе прекрасно знала – ничего не удастся найти. Караффа имел свой надёжный план, который не собирался менять, согласуя с моим желанием. Скорее уж наоборот – чем больше мне хотелось увидеть Анну, тем дольше он собирался её держать взаперти, не разрешая встречу. Анна изменилась, став очень уверенной и сильной, что меня чуточку пугало, так как, зная её упёртый отцовский характер, я могла только представить, как далеко она могла в своём упорстве пойти... Мне так хотелось, чтобы она жила!.. Чтобы палач Караффы не посягал на её хрупкую, не успевшую даже полностью распуститься, жизнь!.. Чтобы у моей девочки всё ещё было только впереди...

Одним из основных требований при построении оценок является получение оценок с минимальной дисперсией или минимальным рассеянием (если они существуют). В связи с этим в математической статистике введено понятие эффективных оценок ,

Применительно к смещенным оценкам параметра сигнала оценка называется эффективной, если среднее значение квадрата отклонения оценки от истинного значения оцениваемого параметра I не превышает среднее значение квадрата отклонения любой другой оценки у, т. е. выполняется неравенство

Для несмещенной оценки рассеяние оценки совпадает с ее дисперсией следовательно, эффективная несмещенная оценка определяется как оценка с минимальной дисперсией.

С. Рао и Крамер независимо друг от друга получили выражения для нижних границ условных дисперсий и рассеяний оценок, которые являются дисперсиями и рассеяниями эффективных оценок при условии, что таковые существуют для данных параметров.

Приведем вывод этого выражения, полагая, что необходимые допущения справедливы.

Оценку параметра у представим в сокращенной записи где X - многомерная выборка из реализации на интервале времени

Усредним выражение

по всевозможным значениям многомерной выборки X, которая описывается условной плотностью вероятности Учитывая известное соотношение для производной натурального логарифма после усреднения получаем

В силу свойства нормировки плотности вероятности последнее слагаемое в (1.3.3) равно нулю. Интеграл от первого слагаемого представляет среднее значение оценки

С учетом последнего усредненное значение можно записать в виде

Левая часть этого выражения представляет собой среднее значение произведения двух случайных величин с конечными значениями первых двух моментов. При этих условиях для случайных величин справедливо известное из математической статистики неравенство Буняковского - Шварца

которое переходит в равенство, если случайные величины связаны детерминированной зависимостью . С учетом (1.3.6) из выражения (1.3.5) можно получить

Для несмещенных оценок и оценок с постоянным смещением дисперсия оценки удовлетворяет неравенству Рао-Крамера

Необходимо отметить, что во всех соотношениях усреднение производится по многомерной выборке наблюдаемых данных X (при непрерывной обработке - по всевозможным реализациям а

произшодные берутся в точке истинного значения оцениваемого параметра.

Знак равенства в выражениях (1,3.7) и (1-3.8) достигается только для эффективных оценок.

Применительно к выражению (1.3.7) рассмотрим условия, при которых неравенство обращается в равенство, т. е. оценка параметра является эффективной смещенной оценкойю Согласно (1.3.6) для этого необходимо, чтобы коэффициент взаимной корреляции между был равен единице, т. е. чтобы эти случайные функции были связаны детерминированной линейной зависимостью.

Действительно, представим производную логарифма функции правдоподобия в виде

где функция, которая не зависит от оценки у и выборки наблюдаемых данных, но может зависеть от оцениваемого параметра При подстановке (1.3.5) и (1.3.9) в неравенство (1.3.7) оно переходит в равенство. Однако представление производной логарифма функции правдоподобия в виде (1.3.9) возможно, если для оценки у выполняется условие достаточности (1.2.9), из которого следует, что

и, следовательно, если производная логарифма отношения правдоподобия линейно зависит от достаточной оценки, то коэффициент пропорциональности не зависит от выборки

Таким образом, для существования смещенной эффективной оценки необходимо выполнение двух условий: оценка должна быть достаточной (1.2.9) и должно выполняться соотношение (1.3.9). Аналогичные ограничения налагаются на существование эффективных несмещенных оценок, при которых в выражении (1.3.8) знак неравенства переходит в равенство.

Полученное выше выражение для нижней границы дисперсии смещенной оценки справедливо и для нижней границы рассеяния смещенной оценки, так как т. е.

Последнее неравенство переходит в равенство, если кроме условия достаточности оценки справедливо соотношение

где имеет тот же смысл, что и в выражении (1.3.9).

Формула (1.3.10) выводится аналогично (1.3.7), если в исходном выражении (1.3.2) вместо рассматривать

Из характера условий (1.2.9) и (1.3.9) видно, что эффективные оценки существуют только в весьма специфических случаях. Также следует отметить, что эффективная оценка обязательно принадлежит к классу достаточных оценок, в то время как достаточная оценка не обязательно будет эффективной.

Анализ выражения для дисперсии эффективной смешенной оценки 1.3.7) показывает, что могут существовать смещенные оценки, которые обеспечивают меньшую дисперсию оценки, чем несмещенные. Для этого необходимо, чтобы производная от смещения имела отрицательное значение и по абсолютной величине в точке истинного значения параметра была близка к единице.

Поскольку в большинстве случаев интерес представляет средний квадрат результирующей ошибки оценки (рассеяние), имеет смысл говорить и о среднем квадрате ошибки оценки, который для любой оценки ограничен снизу:

При этом для эффективных оценок имеет место знак равенства.

Нетрудно показать, что соотношения (1.3.10) и (1.3.12) совпадают, если выполняются соответственно условия (1.3.11) и (1.3.9). Действительно, подставив в числитель и знаменатель (1.3.10) значения, выраженные через функции получим (1.3.12).

Используя рассмотренные выше свойства эффективных оценок уточним их определение. Будем называть оценку у эффективной, если для нее либо выполняются условия (1.2.9) и (1.3.11), либо при заданном смещении она обладает дисперсией

или рассеянием

либо при нулевом смещении эта оценка имеет дисперсию

Отметим, что характеристики эффективной оценки (1.3.13) - (1.3.15) могут быть вычислены и для тех параметров, для которых эффективной оценки не существует. В этом случае величины (1.3.13) -(1.3.15) определяют нижнюю границу (недостижимую) для соответствующих характеристик оценки.

Для сравнения реальных оценок с эффективными в математической статистике введено понятие относительной эффективности оценок, представляющее отношение среднего квадрата отклонения эффективной оценки относительно истинного значения параметра к среднему квадрату отклонения реальной оценки относительно истинного значения параметра:

Здесь у - реальная оценка, эффективность которой равна эффективная оценка.

Из определения дисперсии эффективной оценки (1.3.1) видно, что относительная эффективность оценки изменяется в пределах

Кроме понятия эффективных оценок существует понятие асимптотически эффективных оценок. При этом предполагается, что для достаточно большого времени наблюдения или неограниченного увеличения отношения сигнал/помеха предельное значение относительной эффективности реальной оценки равно единице. Это означает, что при асимптотически эффективной оценке дисперсия оценки для заданного смещения определяется выражением (1.3.13), а при отсутствии смещения - выражением (1.3.15).

Определение. Случайная величина называется оценкой неизвестного параметра , если значение этой случайной величины, найденное по результатам серии из измерений, может быть принято за приближенное значение этого параметра т.е. если справедливо равенство .

Пример. Если в качестве неизвестного параметра рассматривается вероятность наступления некоторого события , то оценкой этого параметра служит частость наступлений события в независимых испытаниях (см. статистическое определение вероятности и теорему Бернулли).

Пример. Пусть случайные величины имеют одинаковое математическое ожидание, т.е. . Тогда оценкой значения общего математического ожидания таких случайных величин служит среднее арифметическое этих случайных величин. Важным частным случаем рассмотренной ситуации является следующий

Пример . Оценкой некоторого параметра служит среднее арифметическое результатов независимых измерений этого параметра (см. теорему Чебышёва).

При непосредственном использовании приближенного равенства говорят о точечном оценивании неизвестного параметра.

Возможно также интервальное оценивание неизвестного параметра. Для того, чтобы объяснить, в чем оно состоит, введем в рассмотрение следующие понятия.

Определение. Для произвольного интервал называется доверительным интервалом ;сама величина называется в этом случае предельной ошибкой выборки .

Определение. Вероятность того, что неизвестное значение оцениваемого параметра накрывается доверительным интервалом, называется доверительной вероятностью.

Таким образом, если – оценкапараметра , то

– доверительная вероятность (мы предполагаем, что оценка является непрерывной случайной величиной).

Интервальное оценивание состоит, например, в вычислении доверительной вероятности для заданной предельной ошибки выборки.

Решение задачи интервального оценивания связано с определением характера закона распределения используемой оценки .

Рассмотрим теперь некоторые свойства оценок.

Определение. Оценка параметра называется несмещенной , если математическое ожидание этой оценки равно оцениваемому параметру, т.е.

Определение. Оценка параметра называется состоятельной , если для произвольного выполняется следующее предельное соотношение

Другими словами, оценка параметра состоятельна, если эта оценка сходится по вероятности к данному параметру. (Напомним, что примеры сходимости такого рода дают теоремы Бернулли и Чебышёва, см. § 6.2.)

Определение. Несмещенная оценка некоторого параметра называется эффективной , если она обладает наименьшей дисперсией среди всех несмещенных оценок, найденных по выборке заданного объема.

Пример. Частость наступления некоторого события является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой вероятности этого события. Заметим, что свойства несмещенности и состоятельности частости были фактически рассмотрены нами ранее в несколько ином контексте. Действительно, несмещенность частости – равенство – является одним из свойств биномиально распределенной случайной величины (см. § 3.3). Состоятельность частости утверждается теоремой Бернулли (см. § 6.2).

Пример . Среднее арифметическое некоторого числа независимых и одинаково распределенных случайных величин является несмещенной и состоятельной оценкой общего математического ожидания этих случайных величин. Действительно, несмещенность – есть свойство 5 математического ожидания (см. § 3.3). Состоятельность утверждается теоремой Чебышёва (см. § 6.2).

вероятностей, обладающая тем свойством, что при увеличении числа наблюдений вероятность отклонений оценки от оцениваемого параметра на величину, превосходящую некоторое заданное число, стремится к нулю. Точнее: пусть X 1 , X 2 ,......, X n - независимые результаты наблюдений, распределение которых зависит от неизвестного параметра θ, и при каждом n функция T n = T n (X 1 ,..., X n ) является оценкой θ, построенной по первым n наблюдениям, тогда последовательность оценок {Tn } называется состоятельной, если при n → ∞ для каждого произвольного числа ε > 0 и любого допустимого значения θ

(т. е. T n сходится к θ по вероятности). Например, любая несмещенная оценка (См. Несмещённая оценка) T n параметра θ (или оценка с ETn → 0), дисперсия которой стремится к нулю с ростом n, является С. о. параметра θ в силу неравенства Чебышева

Так, выборочное среднее

Состоятельность, являющаяся желательной характеристикой всякой статистической оценки, имеет отношение лишь к асимптотическим свойствам оценки и слабо характеризует качество оценки при конечном объёме выборки в практических задачах. Существуют критерии, позволяющие выбрать из числа всевозможных С. о. некоторого параметра ту, которая обладает нужными качествами. См. Статистические оценки .

Понятие С. о. впервые было предложено английским математиком Р. Фишером (1922).

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ.. М., 1975; Рао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ.. М., 1968.

А. В. Прохоров.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Состоятельная оценка" в других словарях:

В математической статистике это точечная оценка, сходящаяся по вероятности к оцениваемому параметру. Содержание 1 Определения 2 Свойства 3 … Википедия

Сокращенный вариант термина лсостоятельная последовательность оценок … Математическая энциклопедия

- … Википедия

Функция от случайных величин, применяемая для оценки неизвестных параметров теоретич. распределения вероятностей. Методы теории О. с. служат основой современной теории ошибок; обычно в качестве неизвестных параметров выступают измеряемые физич.… … Математическая энциклопедия

ОЦЕНКА СОСТОЯТЕЛЬНАЯ - СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ … Социология: Энциклопедия

Понятие, расширяющее идею эффективной оценки на случай больших выборок. Однозначного определения А. э. о. не имеет. Напр., в классич. варианте речь идет об асимптотич. эффективности оценки в подходящим образом выделенном классе оценок. Именно,… … Математическая энциклопедия

Суперэффективяая оценка, общепринятое сокращение термина сверхэффективная (суперэффективная) последовательность оценок, употребляемого по отношению к состоятельной последовательности асимптотически нормальных оценок неизвестного параметра, к рая … Математическая энциклопедия

- (пробит модель, англ. probit) применяемая в различных областях (эконометрика, токсикология и др.) статистическая (нелинейная) модель и метод анализа зависимости качественных (в первую очередь бинарных) переменных от множества… … Википедия

Выборочное (эмпирическое) среднее это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него. Определение Пусть выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве.… … Википедия

Статистические оценки это статистики, которые используются для оценивания неизвестных параметров распределений случайной величины. Например, если это независимые случайные величины, с заданным нормальным распределением, то будет… … Википедия

Книги

• Простая, положительно полуопределенная оценка асимптотической матрицы ковариаций, состоятельная при наличии гетероскедастичности и автокорреляции , Whitney Newey. Работа Уитни Ньюи (Whitney K. Newey) и Кеннета Веста (Kenneth D. West) является одной из самых цитируемых и широко известных статей в экономике благодаря своей обширной области применения.…