Войти
Литература. Сочинения. География. Биология. История. Окружающий мир
  • Медведев д а в контакте. Дмитрий медведев. Участие в выборах Президента России
  • Вероника, значение имени, характер и судьба для девочек
  • Как писать сочинение (эссе) по истории в ЕГЭ
  • Проблема сохранения русского языка по тексту М
  • Алкогольный ступор. Ступор. Определение и виды этого состояния. Психоделическая литература, галлюцинозный или галлюцинаторный реализм
  • Актеры воевавшие в ВОВ - история в фотографиях — LiveJournal Известные люди участники афганской войны
  • Однородные дифференциальные уравнения 1 го порядка примеры. Однородные уравнения. Исчерпывающий гид (2019)

    Однородные дифференциальные уравнения 1 го порядка примеры. Однородные уравнения. Исчерпывающий гид (2019)

    Однородное дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение вида
    , где f - функция.

    Как определить однородное дифференциальное уравнение

    Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение первого порядка однородным, нужно ввести постоянную t и заменить y на ty и x на tx : y → ty , x → tx . Если t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение . Производная y′ при таком преобразовании не меняется.
    .

    Пример

    Определить, является ли данное уравнение однородным

    Решение

    Делаем замену y → ty , x → tx .


    Делим на t 2 .

    .
    Уравнение не содержит t . Следовательно, это однородное уравнение.

    Метод решения однородного дифференциального уравнения

    Однородное дифференциальное уравнение первого порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = ux . Покажем это. Рассмотрим уравнение:
    (i)
    Делаем подстановку:
    y = ux ,
    где u - функция от x . Дифференцируем по x :
    y′ =
    Подставляем в исходное уравнение (i) .
    ,
    ,
    (ii) .
    Разделяем переменные. Умножаем на dx и делим на x ( f(u) - u ) .

    При f(u) - u ≠ 0 и x ≠ 0 получаем:

    Интегрируем:

    Таким образом, мы получили общий интеграл уравнения (i) в квадратурах:

    Заменим постоянную интегрирования C на ln C , тогда

    Опустим знак модуля, поскольку нужный знак определяется выбором знака постоянной C . Тогда общий интеграл примет вид:

    Далее следует рассмотреть случай f(u) - u = 0 .
    Если это уравнение имеет корни, то они являются решением уравнения (ii) . Поскольку уравнение (ii) не совпадает с исходным уравнением, то следует убедиться, что дополнительные решения удовлетворяют исходному уравнению (i) .

    Всякий раз, когда мы, в процессе преобразований, делим какое либо уравнение на некоторую функцию, которую обозначим как g(x, y) , то дальнейшие преобразования справедливы при g(x, y) ≠ 0 . Поэтому следует отдельно рассматривать случай g(x, y) = 0 .

    Пример решения однородного дифференциального уравнения первого порядка

    Решить уравнение

    Решение

    Проверим, является ли данное уравнение однородным. Делаем замену y → ty , x → tx . При этом y′ → y′ .
    ,
    ,
    .
    Сокращаем на t .

    Постоянная t сократилась. Поэтому уравнение является однородным.

    Делаем подстановку y = ux , где u - функция от x .
    y′ = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
    Подставляем в исходное уравнение.
    ,
    ,
    ,
    .
    При x ≥ 0 , |x| = x . При x ≤ 0 , |x| = - x . Мы пишем |x| = ± x подразумевая, что верхний знак относится к значениям x ≥ 0 , а нижний - к значениям x ≤ 0 .
    ,
    Умножаем на ± dx и делим на .

    При u 2 - 1 ≠ 0 имеем:

    Интегрируем:

    Интегралы табличные ,
    .

    Применим формулу:
    (a + b)(a - b) = a 2 - b 2 .
    Положим a = u , .
    .
    Возьмем обе части по модулю и логарифмируем,
    .
    Отсюда
    .

    Таким образом имеем:
    ,
    .
    Опускаем знак модуля, поскольку нужный знак обеспечивается выбором знака постоянной C .

    Умножаем на x и подставляем ux = y .
    ,
    .
    Возводим в квадрат.
    ,
    ,
    .

    Теперь рассмотрим случай, u 2 - 1 = 0 .
    Корни этого уравнения
    .
    Легко убедиться, что функции y = ± x удовлетворяют исходному уравнению.

    Ответ

    ,
    ,
    .

    Использованная литература:
    Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

    Однородные

    На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка . Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка . Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными.

    В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.

    Пример 1

    Решение:
    Что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка ? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.

    В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т.д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя .

    Возникает вопрос – как же решить этот диффур?

    Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным ? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:

    В исходное уравнение:

    вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем :

    Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным .

    Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:

    Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:

    и обе части делим на эту самую лямбду:

    В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.

    Вывод: Данное уравнение является однородным

    Как решить однородное дифференциальное уравнение?

    У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены.

    Функцию «игрек» следует заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса»:

    Почти всегда пишут коротко:

    Выясняем, во что превратится производная при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то:

    Подставляем и в исходное уравнение :

    Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь:) и, соответственно, .

    После подстановки проводим максимальные упрощения:


    Поскольку – это функция, зависящая от «икс», то её производную можно записать стандартной дробью: .
    Таким образом:

    Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»:

    Переменные разделены, интегрируем:


    Согласно моему первому техническому совету из статьи Дифференциальные уравнения первого порядка , константу во многих случаях целесообразно «оформить» в виде логарифма.

    После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену , она тоже стандартна и единственна:
    Если , то
    В данном случае:

    В 18-19 случаях из 20 решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла .

    Ответ: общий интеграл:

    Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего интеграла?
    В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего общее решение получается громоздким и корявым.

    Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно, навешиваем логарифмы на обе части общего интеграла:

    – ну, еще куда ни шло. Хотя, согласитесь, все равно кривовато.

    Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл. Это не ошибка , но в «хорошем» стиле, напоминаю, общий интеграл принято записывать в виде . Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следует записать без всякого логарифма (вот и исключение из правила!) :

    И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде:

    Полученный ответ можно проверить. Для этого нужно продифференцировать общий интеграл, то есть найти производную от функции, заданной неявно :

    Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на :

    Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно.

    Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте!

    Следующий пример для самостоятельного решения – чтобы вы освоились в самом алгоритме действий:

    Пример 2

    Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл.

    Ответ записать в виде , выполнить проверку.

    Тут тоже получилась довольно простенькая проверка.

    А теперь обещанный важный момент, упомянутый ещё в самом начале темы,
    выделю жирными чёрными буквами:

    Если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель (не константу) в знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения!

    И на самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях . В процессе решения уравнения «игрек» оказался в знаменателе: , но , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение при нулевом значении константы. Сброс «икса» в знаменатель тоже можно не принимать во внимание, т.к. не удовлетворяет исходному диффуру.

    Аналогичная история с третьим уравнением того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили» в знаменатель. Строго говоря, здесь следовало проверить, а не является ли решением данного диффура? Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл при .

    И если с «разделяющимися» уравнениями такое часто;) «прокатывает», то с однородными и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». С высокой вероятностью.

    Проанализируем уже прорешанные задачи этого урока: в Примерах 1-2 «сброс» икса тоже оказался безопасен, ибо там есть и , а посему сразу понятно, что не может быть решением. Кроме того, в Примере 2 в знаменателе оказался , и здесь мы рисковали потерять функцию , которая, очевидно, удовлетворяет уравнению . Однако, и тут «пронесло», т.к. она вошла в общий интеграл при нулевом значении константы.

    Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и не факт, что на практике попадутся именно они:

    Пример 3

    Решить дифференциальное уравнение

    Не правда ли простой пример? ;-)

    Решение: однородность этого уравнения очевидна, но всё равно – на первом шаге ОБЯЗАТЕЛЬНО проверяем, нельзя ли разделить переменные . Ибо уравнение тоже однородно, но переменные в нём преспокойно разделяются. Да, бывают и такие!

    После проверки на «разделяемость» проводим замену и максимально упрощаем уравнение:

    Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»:

    И вот здесь СТОП. При делении на мы рискуем потерять сразу две функции. Так как , то это функции:

    Первая функция, очевидно, является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную в наш диффур:

    – получено верное равенство, значит, функция тоже является решением.

    И эти решения мы рискуем потерять .

    Кроме того, в знаменателе оказался «икс», и поэтому обязательно проверяем , не является ли решением исходного дифференциального уравнения. Нет, не является.

    Берём всё это на заметку и продолжаем:

    Надо сказать, с интегралом левой части повезло, бывает гораздо хуже.

    Собираем в правой части единый логарифм, и сбрасываем оковы:

    И вот только теперь обратная замена :

    Умножим все слагаемые на :

    Теперь следует проверить – вошли ли в общий интеграл «опасные» решения . Да, оба решения вошли в общий интеграл при нулевом значении константы: , поэтому их не нужно дополнительно указывать в ответе :

    общий интеграл:

    Проверка . Даже не проверка, а сплошное удовольствие:)

    Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.

    Для самостоятельного решения:

    Пример 4

    Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение

    Общий интеграл проверить дифференцированием.

    Полное решение и ответ в конце урока.

    Рассмотрим ещё пару типовых примеров:

    Пример 5

    Решить дифференциальное уравнение

    Решение будем привыкать оформлять компактнее. Сначала мысленно либо на черновике убеждаемся в том, что переменные тут разделить нельзя, после чего проводим проверку на однородность – на чистовике её обычно не проводят (если специально не требуется) . Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: … ».

    Замену , и идём проторенной дорогой:


    С «иксом» тут всё в порядке, но вот что с квадратным трёхчленом? Поскольку он неразложим на множители : , то решений мы точно не теряем. Всегда бы так! Выделяем в левой части полный квадрат и интегрируем:



    Упрощать тут нечего, а посему обратная замена :

    Ответ: общий интеграл:

    Следующий пример для самостоятельного решения:

    Пример 6

    Решить дифференциальное уравнение

    Казалось бы похожие уравнения, ан нет – Большая разница;)

    И сейчас начинается самое интересное! Сначала разберёмся, как быть, если однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами:

    Пример 7

    Решить дифференциальное уравнение

    Это очень интересный пример, прямо целый триллер!

    Решение : если однородное уравнение содержит готовые дифференциалы, то его можно решить модифицированной заменой:

    Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим обе части уравнения на :

    И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование! Нулевому дифференциалу соответствует – семейство прямых, параллельных оси . Являются ли они корнями нашего ДУ? Подставим и в исходное уравнение:

    Данное равенство справедливо, если , то есть, при делении на мы рисковали потерять решение , и мы его потеряли – так как оно уже не удовлетворяет полученному уравнению .

    Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение , то о корне речи бы не шло. Но у нас он есть, и мы его вовремя «отловили».

    Продолжаем решение стандартной заменой :
    :

    После подстановки максимально упрощаем уравнение:

    Разделяем переменные:

    И вот здесь снова СТОП: при делении на мы рискуем потерять две функции. Так как , то это функции:

    Очевидно, что первая функция является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную :

    – получено верное равенство , значит, функция тоже является решением дифференциального уравнения.

    И при делении на мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут войти в общий интеграл. Но могут и не войти

    Берём это на заметку и интегрируем обе части:

    Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата , но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов :

    Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:


    Таким образом:

    Находим интегралы:

    – так как у нас нарисовались одни логарифмы, то константу тоже заталкиваем под логарифм.

    Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить :

    Сбрасываем цепи:

    И обратная замена :

    Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение вошло в общий интеграл при , а вот – «пролетело мимо кассы», т.к. оказалось в знаменателе. Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном решении , которое, к слову, тоже оказалось внизу.

    Ответ: общий интеграл: . Ещё решения:

    Здесь не так трудно выразить общее решение:
    , но это уже понты.

    Удобные, впрочем, для проверки. Найдём производную:

    и подставим в левую часть уравнения:

    – в результате получена правая часть уравнения, что и требовалось проверить.

    Теперь квест с корнями, это тоже распространенный и очень коварный случай:

    Пример 8

    Решить дифференциальное уравнение

    Решение : устно убеждаемся, что уравнение однородно и подставляем первую любовь , в исходное уравнение:

    И опасность нас поджидает уже тут. Дело в том, что , и этот факт очень легко упустить из виду:

    Успешного продвижения!

    Решения и ответы:

    Пример 2: Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо подставим , а вместо подставим :

    В результате получено исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.

    Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения:y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи: dy=udx+xdu.После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с разделяющимися переменными.

    Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

    1) Решить уравнение

    Проверяем, что это уравнение является однородным (см. Как определить однородное уравнение). Убедившись, делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, ln(ux)=lnu+lnx. Отсюда

    u’x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). После приведения подобных слагаемых: u’x+u=u(1+lnu). Теперь раскрываем скобки

    u’x+u=u+u·lnu. В обеих частях стоит u, отсюда u’x=u·lnu. Поскольку u — функция от икса, u’=du/dx. Подставляем,

    Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, для чего обе части умножаем на dx и делим на x·u·lnu, при условии, что произведение x·u·lnu≠0

    Интегрируем:

    В левой части — табличный интеграл. В правой — делаем замену t=lnu, откуда dt=(lnu)’du=du/u

    ln│t│=ln│x│+C. Но мы уже обсуждали, что в таких уравнениях вместо С удобнее взять ln│C│. Тогда

    ln│t│=ln│x│+ln│C│. По свойству логарифмов: ln│t│=ln│Сx│. Отсюда t=Cx. (по условию, x>0). Пора делать обратную замену: lnu=Cx. И еще одна обратная замена:

    По свойству логарифмов:

    Это — общий интеграл уравнения.

    Вспоминаем условие произведение x·u·lnu≠0 (а значит, x≠0,u≠0, lnu≠0, откуда u≠1). Но x≠0 из условия, остается u≠1, откуда x≠y. Очевидно, что y=x (x>0) входят в общее решение.

    2) Найти частный интеграл уравнения y’=x/y+y/x, удовлетворяющий начальным условиям y(1)=2.

    Сначала проверяем, что это уравнение является однородным (хотя наличие слагаемых y/x и x/y уже косвенно указывает на это). Затем делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем полученные выражения в уравнение:

    u’x+u=1/u+u. Упрощаем:

    u’x=1/u. Так как u — функция от икса, u’=du/dx:

    Получили уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножаем обе части на dx и u и делим на x (x≠0 по условию, отсюда u≠0 тоже, значит, потери решений при этом не происходит).

    Интегрируем:

    и поскольку в обеих частях стоят табличные интегралы, сразу же получаем

    Выполняем обратную замену:

    Это — общий интеграл уравнения. Используем начальное условие y(1)=2, то есть подставляем в полученное решение y=2, x=1:

    3) Найти общий интеграл однородного уравнения:

    (x²-y²)dy-2xydx=0.

    Замена u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем:

    (x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Выносим x² за скобки и делим на него обе части (при условии x≠0):

    x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

    (1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Раскрываем скобки и упрощаем:

    xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

    xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Группируем слагаемые с du и dx:

    (x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Выносим общие множители за скобки:

    x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяем переменные:

    x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для этого обе части уравнения делим на xu(u²+1)≠0 (соответственно, добавляем требования x≠0 (уже отметили), u≠0):

    Интегрируем:

    В правой части уравнения — табличный интеграл, рациональную дробь в левой части раскладываем на простые множители:

    (или во втором интеграле можно было вместо подведения под знак дифференциала сделать замену t=1+u², dt=2udu — кому какой способ больше нравится). Получаем:

    По свойствам логарифмов:

    Обратная замена

    Вспоминаем условие u≠0. Отсюда y≠0. При С=0 y=0, значит, потери решений не происходит, и y=0 входит в общий интеграл.

    Замечание

    Можно получить запись решения в другом виде, если слева оставить слагаемое с x:

    Геометрический смысл интегральной кривой в этом случае — семейство окружностей с центрами на оси Oy и проходящих через начало координат.

    Задания для самопроверки:

    1) (x²+y²)dx-xydy=0

    1) Проверяем, что уравнение является однородным, после чего делаем замену u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем в условие: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Разделив обе части уравнения на x²≠0, получаем: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Отсюда dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Упростив, имеем: dx-xudu=0. Отсюда xudu=dx, udu=dx/x. Интегрируем обе части:

    В этой статье мы рассмотрим способ решения однородных тригонометрических уравнений.

    Однородные тригонометрические уравнения имеют ту же структуру, что и однородные уравнения любого другого вида. Напомню способ решения однородных уравнений второй степени:

    Рассмотрим однородные уравнения вида

    Отличительные признаки однородных уравнений:

    а) все одночлены имеют одинаковую степень,

    б) свободный член равен нулю,

    в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

    Однородные уравнения решаются по сходному алгоритму.

    Чтобы решить уравнение такого типа, разделим обе части уравнения на (можно разделить на или на )

    Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

    Если является, то мы выписываем этот корень, чтобы потом про него не забыть, а затем делим на это выражение.

    Вообще, первым делом, при решении любого уравнения, в правой части которого стоит ноль, нужно попытаться разложить левую часть уравнения на множители любым доступным способом. А затем каждый множитель приравнять к нулю. В этом случае мы точно не потеряем корни.

    Итак, осторожно разделим левую часть уравнения на выражение почленно. Получим:

    Сократим числитель и знаменатель второй и третьей дроби:

    Введем замену:

    Получим квадратное уравнение:

    Решим квадратное уравнение, найдем значения , а затем вернемся к исходному неизвестному.

    При решении однородных тригонометрических уравнений, нужно помнить несколько важных вещей:

    1. Свободный член можно преобразовать к квадрату синуса и косинуса с помощью основного тригонометрического тождества:

    2. Синус и косинус двойного аргумента являются одночленами второй степени - синус двойного аргумента легко преобразовать к произведению синуса и косинуса, а косинус двойного аргумента - к квадрату синуса или косинуса:

    Рассмотрим несколько примеров решения однородных тригонометрических уравнений.

    1 . Решим уравнение:

    Это классический пример однородного тригонометрического уравнения первой степени: степень каждого одночлена равна единице, свободный член равен нулю.

    Прежде чем делить обе части уравнения на , необходимо проверить, что корни уравнения не являются корнями исходного уравнения. Проверяем: если , то title="sin{x}0">, следовательно их сумма не равна нулю.

    Разделим обе части уравнения на .

    Получим:

    , где

    , где

    Ответ: , где

    2 . Решим уравнение:

    Это пример однородного тригонометрического уравнения второй степени. Мы помним, что если мы можем разложить левую часть уравнения на множители, то желательно это сделать. В этом уравнении мы можем вынести за скобки . Сделаем это:

    Решение первого уравнения: , где

    Второе уравнение - однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части уравнения на . Получим:

    Ответ: , где ,

    3 . Решим уравнение:

    Чтобы это уравнение "стало" однородным, преобразуем в произведение, и представим число 3 в виде суммы квадратов синуса и косинуса:

    Перенесем все слагаемые влево, раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим:

    Разложим левую часть на множители и приравняем каждый множитель к нулю:

    Ответ: , где ,

    4 . Решим уравнение:

    Мы видим, что можем вынести за скобки . Сделаем это:

    Приравняем каждый множитель к нулю:

    Решение первого уравнения:

    Второе уравнение совокупности представляет собой классическое однородное уравнение второй степени. Корни уравнения не являются корнями исходного уравнения, поэтому разделим обе части уравнения на :

    Решение первого уравнения:

    Решение второго уравнения.